Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．

（1）抛物线y=x²对应的碟宽为　  　；抛物线y=4x²对应的碟宽为　 　；抛物线y=ax²（a＞0）对应的碟宽为　　；抛物线y=a（x﹣2）²+3（a＞0）对应的碟宽为　　；

（2）抛物线y=ax²﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；

（3）将抛物线y=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的对应准蝶形记为F_n（n=1，2，3…），定义F₁，F₂，…，F_n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F_n与F_n﹣1的相似比为，且F_n的碟顶是F_n﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y₁，其对应的准蝶形记为F₁．

①求抛物线y₂的表达式；

②若F₁的碟高为h₁，F₂的碟高为h₂，…F_n的碟高为h_n，则h_n=　　，F_n的碟宽有端点横坐标为　2　；F₁，F₂，…，F_n的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．

Answer

（1）4；1；；．

【解析】

试题分析：（1）根据定义可算出y=ax2（a＞0）的碟宽为、碟高为，由于抛物线可通过平移y=ax2（a＞0）得到，得到碟宽为、碟高为，由此可得碟宽、碟高只与a有关，与别的无关，从而可得．

（2）由（1）的结论，根据碟宽易得a的值．

（3）①根据y1，容易得到y2．

②结合画图，易知h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直线x=2上，可以考虑hn∥hn﹣1，且都过Fn﹣1的碟宽中点，进而可得．画图时易知碟宽有规律递减，由此可得右端点的特点．对于“F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？”，我们可以推测任意相邻的三点是否在一条直线上，如果相邻的三个点不共线则结论不成立，反之则成立，所以可以考虑基础的几个图形关系，利用特殊点求直线方程即可．

试题解析：（1）4；1；；．

∵a＞0，

∴y=ax2的图象大致如下：

其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．

∵△DAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，

∴OC⊥AB，

∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°，

∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，

∴AC=OC=BC，

∴xA=-yA，xB=yB，代入y=ax2，

∴A（﹣，），B（，），C（0，），

∴AB=，OC=，

即y=ax2的碟宽为．

①抛物线y=x2对应的a=，得碟宽为4；

②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽为为；

③抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为；

④抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，

∵平移不改变形状、大小、方向，

∴抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）的准碟形与抛物线y=ax2的准碟形全等，

∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为，

∴抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0），碟宽为．

（2）∵y=ax2﹣4ax﹣，

∴由（1），其碟宽为，

∵y=ax2﹣4ax﹣的碟宽为6，

∴=6，

解得A=，

∴y=x2﹣x﹣=（x﹣2）2﹣3

（3）①∵F1的碟宽：F2的碟宽=2：1，

∴=，

∵a1=，

∴a2=．

∵y=（x﹣2）2﹣3的碟宽AB在x轴上（A在B左边），

∴A（﹣1，0），B（5，0），

∴F2的碟顶坐标为（2，0），

∴y2=（x﹣2）2．

②∵Fn的准碟形为等腰直角三角形，

∴Fn的碟宽为2hn，

∵2hn：2hn﹣1=1：2，

∴hn=hn﹣1=（）2hn﹣2=（）3hn﹣3=…=（）n+1h1，

∵h1=3，

∴hn=．

∵hn∥hn﹣1，且都过Fn﹣1的碟宽中点，

∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在一条直线上，

∵h1在直线x=2上，

∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直线x=2上，

∴Fn的碟宽右端点横坐标为2+．

另，F1，F2，…，Fn的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=﹣x+5．

分析如下：

考虑Fn﹣2，Fn﹣1，Fn情形，关系如图2，

Fn﹣2，Fn﹣1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EH．

∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，

∴AB∥DE∥GH，

∴GH平行且等于FE，DE平行且等于CB，

∴四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，

∴HE∥GF，EB∥DC，

∵∠GFI=∠GFH=∠DCE=∠DCF，

∴GF∥DC，

∴HE∥EB，

∵HE，EB都过E点，

∴HE，EB在一条直线上，

∴Fn﹣2，Fn﹣1，Fn的碟宽的右端点是在一条直线，

∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在一条直线．

∵F1：y1=（x﹣2）2﹣3准碟形右端点坐标为（5，0），

F2：y2=（x﹣2）2准碟形右端点坐标为（2+，），

∴待定系数可得过两点的直线为y=﹣x+5，

∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在直线y=﹣x+5上．

考点：1、等腰直角三角形；2、二次函数的性质；3多点共线