Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4．

（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；

（2）小丽发现：将抛物线绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；

（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列），．

①写出C点的坐标：C（        ，        ）（坐标用含有t的代数式表示）；

②若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．

Answer

（1）；（2，4）；（2）正确，理由见解析；（3）①-4t+2，4+t；②.

【解析】

试题分析：（1）把P的纵坐标代入抛物线的解析式得到关于x的方程，根据根与系数的关系求得和PQ=4，求得n的值，即可求得解析式.

（2）根据旋转的性质得到Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（-2，4），得出新抛物线的对称轴是y轴，然后求得抛物线的顶点到直线PQ的距离为4，即可判断新抛物线顶点应为坐标原点．

（3）①根据三角形相似即可求得C的坐标：

如答图，过P作x轴的垂线，交x轴于M，过C作CN⊥MN于N，

∵，∴.

∵易得△APM∽△PCN，∴.

∵AM=2-1=1，PM=4，∴PN=t，CN=4t.

∴MN=4+t.

∴C（-4t+2，4+t），

②由（1）可知，旋转后的新抛物线是，新抛物线是过P（2，4），求得新抛物线的解析式，把C（-4t+2，4+t）代入即可求得t的值．

试题解析：【解析】
（1）∵抛物线过点P，P点的纵坐标为4，

∴即.

∴.

∵PQ=4，∴，即，即.

∴，解得：n=4.

∴抛物线的函数关系式为：.

由解得x=2或x=6.

∴P（2，4）．

（2）正确，理由如下：

∵P（2，4），PQ=4，∴Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（-2，4）.

∴P与Q′正好关于y轴对称.

∴所得新抛物线的对称轴是y轴，

∵抛物线，∴抛物线的顶点M（4，8）.

∴顶点M到直线PQ的距离为4.

∴所得新抛物线顶点到直线PQ的距离为4.

∴所得新抛物线顶点应为坐标原点．

（3）①-4t+2，4+t.

②由（1）可知，旋转后的新抛物线是，

∵新抛物线过P（2，4），∴4=4a，解得a=1.

∴旋转后的新抛物线是.

∵C（-4t+2，4+t）在抛物线上，

∴，解得：t=0（舍去）或t=.

∴t=.

考点：1.二次函数综合题；2.线动旋转问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.一元二次方程根与系数的关系；5.二次函数的性质；6. 旋转和轴对称的性质；7.方程思想的应用.