Question

如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上一点，∠EAB=∠ADB.

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；

（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的条件下，求AE的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）连接CD，由AC是⊙O的直径，可得出∠ADC=90°，由角的关系可得出∠BAC=90°，即得出EA是⊙O的切线.

（2）连接BC，由AC是⊙O的直径，可得出∠ABC=90°，由在RT△EAF中，B是EF的中点，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA.

（3）由△EAF∽△CBA，可得出，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的长．

试题解析：【解析】
（1）证明：如答图1，连接CD，

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°.

∴∠ADB+∠EDC=90°.

∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，

∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°.

∴EA是⊙O的切线.

（2）证明：如答图2，连接BC，

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°.

∴∠CBA=∠ABC=90°.

∵B是EF的中点，∴在Rt△EAF中，AB=BF.

∴∠BAC=∠AFE.∴△EAF∽△CBA.

（3）∵△EAF∽△CBA，∴.

∵AF=4，CF=2，∴AC=6，EF=2AB.

∴，解得AB=.∴EF=.

∴.

考点：1.圆周角定理；2.切线的判定；3.相似三角形的判定与性质；4.勾股定理．