Question

某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.

问题思考：

如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.

（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.

（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.

问题拓展：

（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长。

(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BM=1，点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.

   

Answer

（1）当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32；

（2）存在两个面积始终相等的三角形，图形见解析；

（3）PQ的中点O所经过的路径的长为6π；

（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为．

【解析】

试题分析：（1）设AP=x，则PB=1-x，根据正方形的面积公式得到这两个正方形面积之和=x2+（8-x）2，配方得到2（x-4）2+32，然后根据二次函数的最值问题求解；

（2）根据PE∥BF求得PK=，进而求得DK=PD-PK=a-=，然后根据面积公式即可求得；

（3）PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧；

（4）GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，然后利用轴对称的性质，求出OM+OB的最小值．

试题解析：（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值．

设AP=x，则PB=8-x，

根据题意得这两个正方形面积之和=x2+（8-x）2=2x2-16x+64=2（x-4）2+32，

所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32；

（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK与△DFK．

依题意画出图形，如图所示．

设AP=a，则PB=BF=8-a．

∵PE∥BF，

∴，

即，

∴PK=，

∴DK=PD-PK= a-=，

∴S△APK=PK•PA=••a=，S△DFK=DK•EF=••（8-a）=，

∴S△APK=S△DFK；

（3）当点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上，

若点P在点A，点Q在点D，此时PQ的中点O即为DA边的中点；

若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A．

此时在Rt△APQ中，O为PQ的中点，所以AO=PQ=4．

所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90°的圆弧上．

PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如图所示：

所以PQ的中点O所经过的路径的长为：×2π×4=6π；

（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为．

如图，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH为梯形．

∵点O为中点，

∴OS=（GR+HT）=（AP+PB）=4，即OS为定值．

∴点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上．

∵MN=6，点P在线段MN上运动，且点O为GH中点，

∴点O的运动路径为线段XY，XY=MN=3，XY∥AB且平行线之间距离为4，点X与点A、点Y与点B之间的水平距离均为2.5．

如图，作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O．

由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小．

在Rt△BMM′中，由勾股定理得：BM′=．

∴OM+OB的最小值为．

考点：四边形综合题．