Question

如图，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切线，切点为D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=AC．

（1）求∠ACB的度数；

（2）若AC=8，求△ABF的面积．

Answer

(1)∠ACB=120°．

(2)24

【解析】

试题分析：（1）连接DC，由AB是⊙C的切线，可知CD⊥AB，根据CD=AC，得出∠A=30°，又AC=BC，从而可求得∠ACB的度数．

（2）由（1）可得∠ACD=∠BCD=∠BCF，从而可得△ACD≌△BCF，求得∠AFB=90°，已知AC=8，根据已知求得AF=12，由于∠A=30°得出BF=AB，由勾股定理求得BF的长，从而可求得三角形的面积．

试题解析：（1）连接CD，

∵AB是⊙C的切线，

∴CD⊥AB，

∵CF=AC，CF=CE，

∴AE=CE，

∴ED=AC=EC，

∴ED=EC=CD，

∴∠ECD=60°，

∴∠A=30°，

∵AC=BC，

∴∠ACB=120°．

（2）∵∠A=30°，AC=BC，

∴∠ABC=30°，

∴∠BCE=60°，

在△ACD与△BCF中

∴△ACD≌△BCF（SAS）

∴∠ADC=∠BFC，

∵CD⊥AB，

∴CF⊥BF，

∵AC=8，CF=AC．

∴CF=4，

∴AF=12，

∵∠AFB=90°，∠A=30°，

∴BF=AB，

设BF=x，则AB=2x，

∵AF2+BF2=AB2，

∴（2x）2﹣x2=122

解得：x=4

即BF=4

∴S△ABF=

考点：1、切线的性质；2、等腰三角形的判定与性质；3、勾股定理