Question

某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax²+bx﹣75．其图象如图．

（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

Answer

（1）销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；

（2）销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．

【解析】

试题分析：（1）由已知，应用待定系数法，可得二次函数解析式，根据二次函数顶点坐标的性质，可得答案.

（2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．

试题解析：【解析】
（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），

∴，解得.

∴y与x之间的函数关系为.

∵

∴当x=10时，y最大=25，

答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.

（2）∵函数图象的对称轴为直线x=10，

∴点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）.

又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，

∴当7≤x≤13时，y≥16．

答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．

考点：1.二次函数的应用；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 待定系数法的应用；4.二次函数的性质；5.数形结合思想的应用．