Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．

（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；

①求此抛物线的表达式与点D的坐标；

②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；

（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．

Answer

（1）①，D（0，4）；②36；（2）证明见解析，（0，1）．

【解析】

试题分析：（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式；利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，由圆周角定理得AB为圆的直径，再由垂径定理知点C、D关于AB对称，由此得出点D的坐标.

②求出△BDM面积的表达式，再利用二次函数的性质求出最值.

（2）根据抛物线与x轴的交点坐标、根与系数的关系、相似三角形求解．

试题解析：【解析】
（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（8，0），

∴可设抛物线解析式为.

∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，﹣4），

∴，解得.

∴抛物线的解析式为：，即.

∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．

如答图1，连接AC、BC．

由勾股定理得：AC=，BC=．

∵AC2+BC2=AB2=100，

∴∠ACB=90°.∴AB为圆的直径．

由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）．

②设直线BD的解析式为y=kx+b，

∵B（8，0），D（0，4），∴，解得.∴直线BD解析式为：．

设M（x，），

如答图2，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，）．

∴ME=．

∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（xE﹣xD）+ME（xB﹣xD）=ME（xB﹣xD）=4ME.

∴S△BDM=

∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36.

（2）证明：如答图3，连接AD、BC．

由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，

∴△AOD∽△COB.∴.

设A（x1，0），B（x2，0），

∵已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0），∴OC=﹣c，x1x2=c.

∴.∴.

∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标D（0，1）．

考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理和逆定理；6.二次函数的性质；7.圆周角定理和垂径定理；8.相似三角形的判定和性质；9.一元二次方程根与系数的关系．.