Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（   ）

A.1个               B.2个                C.3个               D.4个

Answer

C．

【解析】

试题分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数：

∵AB⊥BC，∴∠B=90°．

∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣∠B=90°.

∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，AD=3，BC=5.

设AP的长为x，则BP长为8﹣x．

若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：

①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得.

②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．

∴满足条件的点P的个数是3个.

故选C．

考点：1.直角梯形的性质；2.相似三角形的判定和性质；3.分类思想和方程思想的应用．