Question

已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．

（1）求点P的坐标；

（2）求抛物线解析式；

（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．

Answer

(1)点P的坐标为（，3）．

(2)抛物线的解析式为y=﹣x2+6

(3)点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2或6．

【解析】

试题分析：（1）由切线的性质可得∠MPO=90°，由勾股定理可求出PO，由三角形PMO的面积利用面积法可求出PK，然后再运用勾股定理可求出OK，就可得到点P的坐标．

（2）可设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax2+6，然后将点P的坐标代入就可求出抛物线的解析式．

（3）直线y=m与⊙M相切有两种可能，只需对这两种情况分别讨论就可求出对应多边形的面积．

试题解析：（1）如图1，

∵⊙M与OP相切于点P，

∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．

∵点M（0，4）即OM=4，MP=2，

∴OP=2．

∵⊙M与OP相切于点P，⊙M与OQ相切于点Q，

∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．

∴OK⊥PQ，QK=PK．

∴PK=．

∴OK==3．

∴点P的坐标为（，3）．

（2）如图2，

设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax2+6，

∵点P（，3）在抛物线y=ax2+6上，

∴3a+6=3．

解得：a=﹣1．

则该抛物线的解析式为y=﹣x2+6．

（3）当直线y=m与⊙M相切时，

则有=2．

解得；m1=2，m2=6．

①m=2时，如图3，

则有OH=2．

当y=2时，解方程﹣x2+6=2得：x=±2，

则点C（2，2），D（﹣2，2），CD=4．

同理可得：AB=2．

则S梯形ABCD=（DC+AB）•OH=×（4+2）×2=4+2．

②m=6时，如图4，

此时点C、点D与点N重合．

S△ABC=AB•OC=×2×6=6．

综上所述：点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2或6．

考点：1、解一元二次方程；2、待定系数法求二次函数解析式；3、勾股定理；4、切线长定理．