Question

如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于，与y轴交于C(0，3)，顶点为D(1,4)，对称轴为DE.

（1）抛物线的解析式是        ；

（2）如图（2），点P是AD上的一个动点，是P关于DE的对称点，连结PE，过作F∥PE交x轴于F. 设，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2），当x=2时，y的最大值是4；（3）存在满足条件的点Q的坐标是：（1，4）和（-2，-5）.

【解析】

试题分析：（1）∵抛物线的顶点为D(1,4)，∴可设抛物线解析式为.

∵抛物线与y轴交于C(0，3)，∴，解得.

∴抛物线的解析式为，即.

（2）令PP′交DE于G，由△DPP′∽△DAB列式表示出，从而由求得y关于x的函数关系式，化为顶点式即可求得y的最大值.

（3）分∠QCB=90°和∠QBC=90°两种情况讨论即可.

试题解析：【解析】
（1）..

（2）如答图1，令PP′交DE于G，

∵PP′∥AF，PE∥FP′, ∴四边形FEPP′是平行四边形.

∴PP′= EF，△DPP′∽△DAB.

∴.

又∵A（-1，0）、B（3，0）、D（1，4），EF=x

∴AB=4，DE=4 ，PP′=x, ∴.

∴.

∴.

∴y关于x的函数关系式为.

∵，

∴当x=2时，y的最大值是4.

（3）假设存在满足条件的点Q（x，y），

如答图2，过点O作OH⊥BC于H，

∵Rt△BCQ中BC是直角边，∴Rt△BCQ的另一直角边与OH平行.

又∵OC=OB，CO⊥OB，OB=3，OC=3，

∴Rt△BCQ的另一直角边所在的直线可以由直线OH向上或向下平移3个单位得到.

由已知得直线OH的解析式是y=x,

∴Rt△BCQ的另一直角边所在的直线解析式是：y=x+3或 y=x－3.

由解得或（舍去）；

由解得或（舍去）.

∴存在满足条件的点Q的坐标是：（1，4）和（-2，-5）.

考点：1.二次函数综合题；2.单动点和轴对称问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.平行四边形的判定和性质；7.相似三角形的判定和性质；8.由实际问题列函数关系式；9.直角三角形的判定；10.分类思想的应用.