Question

⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在直线AB上.

（1）如图（1），已知∠BCD=∠BAC，求证：CD是⊙O的切线；

（2）如图（2），CD与⊙O交于另一点E，BD：DE：EC=2；3：5求圆心O到直线CD的距离；

（3）若图（2）中的点D是直线AB上的动点，点D在运动过程中，会出现在C，D，E三点中，其中一点是另两点连线的中点的情况，问这样的情况出现几次？

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）三次.

【解析】

试题分析：（1）连接OC，证明OC⊥CD即可.

（2）连接OC、OE，过点O作OF⊥CE于点F，证明△BCD∽△EAD，得比例式，即，根据BD：DE：EC=2：3：5，可设BD=2k，DE=3k，EC=5k，代入求出k即可得BD=2，DE=3，EC=5，从而根据勾股定理即可求得OF.

（3）分点D在⊙O外，点E是CD中点和点D在⊙O内，点D是CE中点两种情况讨论即可.

试题解析：【解析】
（1）证明：如答图1，连接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.

又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.

又∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD =∠OCA.

∴∠OCD=∠BCD +∠OCB=90°，即OC⊥CD.

∴CD是⊙O的切线.

（2）如答图2，∵∠ADE=∠CDB，∠BCD=∠EAD，∴△BCD∽△EAD.

∴，即.

又∵BD：DE：EC=2：3：5，∴可设BD=2k，DE=3k，EC=5k.

又∵⊙O的半径为5，∴，解得k=1.

∴BD=2，DE=3，EC=5.

连接OC、OE，过点O作OF⊥CE于点F，

则△OEC是等边三角形， EF=CE=.

∴根据勾股定理得

OF=.

∴圆心O到直线CD的距离是.

（3）这样的情形共有出现三次：当点D在⊙O外时，点E是CD中点，有如答图3，4的两种情形；当点D在⊙O内时，点D是CE中点，有如答图5的一种情形.

考点：1.圆的综合题；2.单动点问题；3.等腰三角形的性质；4.圆周角定理；5.切线的判定；6.相似三角形的判定和性质；7.等定系数法的应用；8. 等边三角形的判定和性质；9.勾股定理；10.分类思想和数形结合思想的应用.