Question

如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．

（1）求证：FG=BE；

（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分∠DCG；

（3）当时，求sin∠CFE的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证.

（2）由（1）得到BC=AB=EG，利用等式的性质得到BE=CG，根据FG=BE，等量代价得到FG=CG，即三角形FCG为等腰直角三角形，得到∠FCG=45°，即可得证.

（3）如答图，作CH⊥EF于H，则△EHC∽△EGF，利用相似得比例，根据BE与BC的比值，设出BE，EC，以及EG，FG，利用勾股定理表示出EF，CF，进而表示出HC，在直角三角形HC中，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠CFE的值．

试题解析：【解析】
（1）证明：∵EP⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°.

又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE.

又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°.

在△ABE与△EGF中，∵，

∴△ABE≌△EGF（AAS）.∴FG=BE.

（2）证明：由（1）知：BC=AB=EG，∴BC﹣EC=EG﹣EC. ∴BE=CG.

又∵FG=BE，∴FG=CG.

又∵∠CGF=90°，∴∠FCG=45°=∠DCG .

∴CF平分∠DCG .

（3）如答图，过点C作CH⊥EF于点H，

∵∠HEC=∠GEF，∠CHE=∠FGE=90°，

∴△EHC∽△EGF. ∴.

∵，∴可设BE=3a，则EC=3a，EG=4a，FG=CG=3a，

∴EF=5a，CF=a.

∴，即HC=a.

∴sin∠CFE=．

考点：1.四边形综合题；2. 正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4. 等腰直角三角形的判定和性质；5.相似三角形的判定和性质；6. 锐角三角函数定义.