Question

如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．

（1）直接写出A、D、C三点的坐标；

（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；

（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；

（2）M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；

（3）结论：在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．

【解析】

试题分析：(1)令Y=0,X=0就可以得到

根据已知先求得对称轴,由于△MAD的面积与△CAD的面积相等,所以有两种情况,一种是点M在X轴下方,此时点M与点C关于对称轴对称,另一种是点M在X轴上方,由于面积相等,而AD是两个三角形公用的,所以可知点M的纵坐标为3,将Y=3代入解析式就可求得.

分情况讨论,一种是BC、AP为底，此时P点与D点重合；一种是AB、CP为底，此时要先求出AB所在直线的解析式，然后根据互相平行的两直线的K值相等，求出CP的解析式，与二次函数的解析式联立，得到方程组，求解即可得到。

试题解析：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，

解得x1=﹣2，x2=4．当x=0，y=﹣3．

∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；

（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．

∵AD在x轴上，点M在抛物线上，

∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：

①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，

∵C点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；

②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=3时，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，

∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．

综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；

（3）结论：存在．

如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：

①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．

由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，

∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四边形ABCP1为梯形；

②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．

∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x﹣6，

∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，

∴直线CP2的解析式为y=x﹣3．∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上，

∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化简得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，

∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2（6，6）．

∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．

综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．

考点：1、二次函数的性质；2、等积三角形；3、梯形；4、解方程