Question

如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.

（1）求证：△APQ∽△CDQ；

（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位的速度向B点移动，移动时间为t秒.

①当t为何值时，DP⊥AC？

②设，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值.

Answer

（1）证明见解析；（2）①5；②，8-9.

【解析】

试题分析：（1）如图，由矩形的性质求出∠1=∠2，∠3=∠4即可证明△APQ∽△CDQ.

（2）①当DP⊥AC时，由△ADC∽△PAD列比例式可求解.

②根据相似，求出两个三角形的高（用t的代数式表示），即可求出y与t之间的函数解析式；列表求出函数值得出P点运动到第8秒到第9秒之间时，y取得最小值.

试题解析：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD. ∴∠1=∠2，∠3=∠4.

∴△APQ∽△CDQ.

（2）①当DP⊥AC时，∴∠4+∠2=90 o.

又∵∠5+∠2=90 o，∴∠4=∠5.

又∵∠ADC=∠DAP=90 o，∴△ADC∽△PAD.∴，即.∴PA=5.

∵P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位的速度向B点移动，∴t=5.

②设△APQ的边AP上的高为h，则△DCQ的边上的高为.

∵由（1）△APQ∽△CDQ，∴.∴.∴.

∴，.

∴.

∴y与t之间的函数解析式为.

给出t的部分取值，计算出y的对应值列表如下：

t

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

100

95.48

91.88

88.91

86.67

85

83.85

83.15

82.86

82.93

83.33

t

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

y

84.03

85

86.21

87.65

89.29

93.11

95.26

97.56

100

从表中可看出：

当时；y随t的值的增大而减小；当时；y随t的值的增大而增大.

∴P点运动到第8秒到第9秒之间时，y取得最小值.

考点：1.单动点问题；2.相似三角形的判定和性质；3.由实际问题列函数关系式；4.列表求函数值分析函数的性质.