Question

如图，抛物线与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线于点C；

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求点A关于直线的对称点的坐标，判定点是否在抛物线上，并说明理由；

（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）抛物线的解析式为.

（2）点A/的坐标为（﹣3,4），点A/在该抛物线上，理由见解析.

（3）存在，当点P运动到时，四边形PACM是平行四边形.理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）把A（5,0）、B（-1,0）两点代入二次函数解析式中，解方程组得到b、c的值，即可求得抛物线的解析式.

（2）过点作⊥x轴于E，AA/与OC交于点D，可证得∽；再由相似三角形对应边成比例，可以求得点A′的坐标.然后把点A的坐标代入抛物线的解析式，验证点A′是否在抛物线上即可.

（3）存在.设直线的解析式为y=kx+b,将点C和点A′的坐标代入直线方程，即可得到直线的解析式为；设点P的坐标为，则点M为，要使四边形PACM是平行四边形,只需PM=AC.又点M在点P的上方，则有 ，解此方程即可得到

点P的坐标.

试题解析：（1）∵与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，

∴， 解得

∴抛物线的解析式为.························································3分

（2）过点作⊥x轴于E，AA/与OC交于点D，

∵点C在直线y=2x上， ∴C（5，10）

∵点A和关于直线y=2x对称，

∴OC⊥，=AD.

∵OA=5，AC=10,

∴.

∵, ∴.∴.·············5分

在和Rt中，

∵∠+∠=90°，∠ACD+∠=90°，

∴∠=∠ACD.

又∵∠=∠OAC=90°，

∴∽.

∴即.

∴=4，AE=8.

∴OE=AE－OA=3.

∴点A/的坐标为（﹣3,4）.·······························7分

当x=﹣3时，.

所以，点A/在该抛物线上.································8分

存在.

理由：设直线的解析式为y=kx+b,

则，解得

∴直线的解析式为.··················9分

设点P的坐标为，则点M为.

∵PM∥AC，

∴要使四边形PACM是平行四边形,只需PM=AC.又点M在点P的上方，

∴ .

解得（不合题意,舍去）当x=2时，.

∴当点P运动到时，四边形PACM是平行四边形.····················11分

考点：二次函数综合题.