Question

观察下列关于自然数的等式：

3²-4×1²=5    ①

5²-4×2²=9    ②

7²-4×3²=13   ③

…

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第四个等式：9²—4×（      ）²=（    ）；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性.

Answer

（1）4，17；

（2）第n个等式为：（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1，证明见解析.

【解析】

试题分析：由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．

试题解析：（1）32-4×12=5    ①

52-4×22=9    ②

72-4×32=13   ③

…

所以第四个等式：92-4×42=17；

（2）第n个等式为：（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1，

左边=（2n+1）2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1，

右边=2（2n+1）-1=4n+2-1=4n+1．

左边=右边，

∴（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1．

考点：规律型：数字的变化类；完全平方公式．