Question

如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．

（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．

（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．

（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．

Answer

（1）该抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣5）=﹣x2+5x；

（2）M（2，6）；

（3）当△PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或．

【解析】

试题分析：（1）由于抛物线与x轴的两个交点已知，因此抛物线的解析式可设成交点式，然后把点B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式；

（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大；求出另一个三角形面积的表达式，利用二次函数的性质确定其最值；本问需分类讨论：

①当0＜x≤4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示；

②当4＜x≤5时，点M在抛物线AB段上时，图略．

（3）△PQB为等腰三角形时，有三种情形，需要分类讨论，避免漏【解析】

①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示；

②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示；

③若点P为顶点，即PQ=QB，如答图2﹣3所示．

试题解析：（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），

∴该抛物线的解析式可设为y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．

∵点B（4，4）在该抛物线上，

∴a×4×（4﹣5）=4．

∴a=﹣1．

∴该抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣5）=﹣x2+5x；

（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．

①当0＜x≤4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．

∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：y=x．

设M（x，﹣x2+5x），

过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），

∴ME=（﹣x2+5x）﹣x=﹣x2+4x．

S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME（xE﹣0）+ME（xB﹣xE）=ME•xB=ME×4=2ME，

∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8

∴当x=2时，S△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．

②当4＜x≤5时，点M在抛物线AB段上时，

可求得直线AB解析式为：y=﹣4x+20．

设M（x，﹣x2+5x），

过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，﹣4x+20），

∴ME=（﹣x2+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x2+9x﹣20．

S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME（xE﹣xB）+ME（xA﹣xE）=ME•（xA﹣xB）=ME×1=ME，

∴S△ABM=﹣x2+x﹣10=﹣（x﹣）2+

∴当x=时，S△ABM最大值为，即四边形的面积最大．

比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大．

当x=2时，y=﹣x2+5x=6，

∴M（2，6）；

（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上．

设P（m，﹣m2+5m），则Q（m，m）

当△PQB为等腰三角形时，

①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示．

过点B作BE⊥PQ于点E，则点E为线段PQ中点，

∴E（m，）．

∵BE∥x轴，B（4，4），

∴=4，

解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）

∴m=2；

②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示．

易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，则△PQB为等腰直角三角形．

∴PB∥x轴，

∴﹣m2+5m=4，

解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）

∴m=1；

③若点P为顶点，即PQ=QB，如答图2﹣3所示．

∵P（m，﹣m2+5m），Q（m，m），

∴PQ=﹣m2+4m．

又∵QB=（xB﹣xQ）=（4﹣m），

∴﹣m2+4m=（4﹣m），

解得：m=或m=4（与点B重合，舍去），

∴m=．

综上所述，当△PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或．

考点：二次函数综合题．