Question

倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”及后面的问题．

习题解答：

习题 如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．

解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上．

∴∠E′AF=90°﹣45°=45°=∠EAF，

又∵AE′=AE，AF=AF

∴△AE′F≌△AEF（SAS）

∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．

习题研究

观察分析：观察图（1），由解答可知，该题有用的条件是①ABCD是四边形，点E、F分别在边BC、CD上；②AB=AD；③∠B=∠D=90°；④∠EAF=∠BAD．

类比猜想：（1）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B=∠D时，还有EF=BE+DF吗？

研究一个问题，常从特例入手，请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，还有EF=BE+DF吗？

（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF吗？

归纳概括：反思前面的解答，思考每个条件的作用，可以得到一个结论“EF=BE+DF”的一般命题：　在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，则EF=BE+DF　．

Answer

（1）当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．理由见解析；

（2）当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF成立．理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质和∠EAF=60°得到AB=AD，∠1+∠3=60°，∠B=∠ADC=60°，则把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，根据旋转的性质得∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，则∠2+∠3=60°，所以∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”证明△AEF≌≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120°，则点F、D、E′不共线，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；

（2）如图（3），由于AB=AD，则把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，根据旋转的性质得∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，由于∠B+∠D=180，则∠ADE′+∠D =180°，所以点F、D、E′共线，利用∠EAF=∠BAD，得到∠1+∠2=∠BAD，则∠2+∠3=∠BAD，所以∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，所以EF=DE′+DF= BE+DF；根据前面的条件和结论可归纳为：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当满足AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，则有EF=BE+DF．

试题解析：（1）当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．理由如下：

∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，

∴AB=AD，∠1+∠3=60°，∠B=∠ADC=60°，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，

∴∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，

∴∠2+∠3=60°，

∴∠EAF=∠E′AF，

在△AEF和△AE′F中

，

∴△AEF≌△AE′F（SAS），

∴EF=E′F，

∵∠ADE′+∠ADC=120°，即点F、D、E′不共线，

∴DE′+DF＞EF

∴BE+DF＞EF；

（2）当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF成立．

理由如下：如图（3），

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，如图（3），

∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，

∵∠B+∠D=180，

∴∠ADE′+∠D=180°，

∴点F、D、E′共线，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠1+∠2=∠BAD，

∴∠2+∠3=∠BAD，

∴∠EAF=∠E′AF，

在△AEF和△AE′F中

，

∴△AEF≌△AE′F（SAS），

∴EF=E′F，

∴EF=DE′+DF=BE+DF；

归纳：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，则EF=BE+DF．

考点：四边形综合题．