Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3

（2）（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）

（3）当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．

【解析】

试题分析：（1）根据对称轴x=1、与x轴的一个交点为A（3，0）、与y轴的交点为B（0，3）可得关于a、b、c的方程组，解出即可

（2）分①MA=M；②AB=AM；③AB=BM三种情况讨论可得点M的坐标．

（3）记平移后的三角形为△PEF．由待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．

试题解析：（1）由题意可知，，解得，经检验均为方程组的解，

故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）①当MA=MB时，M（0，0）；

②当AB=AM时，M（0，﹣3）；

③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．

所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．

（3）平移后的三角形记为△PEF．

设直线AB的解析式为y=kx+b，则

，

解得．

则直线AB的解析式为y=﹣x+3．

△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，

易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．

设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则

，

解得．

则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．

连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．

在△AOB沿x轴向右平移的过程中．

①当0＜m≤时，如图1所示．

设PE交AB于K，EF交AC于M．

则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，

联立，

解得，

即点M（3﹣m，2m）．

故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM

=PE2﹣PK2﹣AF•h

=﹣（3﹣m）2﹣m•2m

=﹣m2+3m．

②当＜m＜3时，如图2所示．

设PE交AB于K，交AC于H．

因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，

又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，

所以当x=m时，得y=6﹣2m，

所以点H（m，6﹣2m）．

故S=S△PAH﹣S△PAK

=PA•PH﹣PA2

=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）2

=m2﹣3m+．

综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．

考点：1、抛物线的对称轴；2、待定系数法求函数解析式；3、分类思想、方程思想的应用