Question

如图，已知直线l₁∥l₂，线段AB在直线l₁上，BC垂直于l₁交l₂于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l₂、l₁于点D、E（点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE．

（1）求证：△ABP≌△CBE；

（2）连结AD、BD，BD与AP相交于点F．如图2．

①当=2时，求证：AP⊥BD；

②当=n（n＞1）时，设△PAD的面积为S₁，△PCE的面积为S₂，求的值．

Answer

（1）证明见解析

证明见解析

n+1

【解析】

试题分析：（1）由BC垂直于l1可得∠ABP=∠CBE，由SAS即可证明；

（2）①延长AP交CE于点H，由（1）及已知条件可得AP⊥CE，△CPD∽△BPE，从而有DP=PE，得出四边形BDCE是平行四边形，从而可得到CE//BD，问题得证；

②由已知条件分别用S表示出△PAD和△PCE的面积，代入即可．

试题解析：（1）∵BC⊥直线l1，

∴∠ABP=∠CBE，

在△ABP和△CBE中

∴△ABP≌△CBE（SAS）；

（2）①延长AP交CE于点H，

∵△ABP≌△CBE，

∴∠PAB=∠ECB，

∴∠PAB+∠AEE=∠ECB+∠AEH=90°，

∴AP⊥CE，

∵=2，即P为BC的中点，直线l1//直线l2，

∴△CPD∽△BPE，

∴==，

∴DP=PE，

∴四边形BDCE是平行四边形，

∴CE//BD，

∵AP⊥CE，

∴AP⊥BD；

②∵=N

∴BC=n•BP，

∴CP=（n﹣1）•BP，

∵CD//BE，

∴△CPD∽△BPE，

∴==n﹣1，

即S2=（n﹣1）S，

∵S△PAB=S△BCE=n•S，

∴S△PAE=（n+1）•S，

∵==n﹣1，

∴S1=（n+1）（n﹣1）•S，

∴==n+1．

考点：1、全等三角形的性质与判定；2、相似三角形的性质与判定；3、平行四边形的性质与判定