Question

如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．

（1）求证：△CDE∽△CAD；

（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．

Answer

（1）证明见解析

（2）

【解析】

试题分析：(1)由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则有∠B+∠BAD=90°，由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠DAE=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，则可得到△CDE∽△CAD；

（2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，由勾股定理可得OC=3，则CD=OC﹣OD=2，由△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE的长，从而可得AE的长

试题解析：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵AC为⊙O的切线，

∴BA⊥AC，

∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，

∴∠B=∠CAD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

而∠ODB=∠CDE，

∴∠B=∠CDE，

∴∠CAD=∠CDE，

而∠ECD=∠DCA，

∴△CDE∽△CAD；

（2）∵AB=2，

∴OA=1，

在Rt△AOC中，AC=2，

∴OC==3，

∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，

∵△CDE∽△CAD，

∴=，即=，

∴CE=．

∴AE=AC-CE=

考点：1、圆周角定理；2、切线的性质；3、相似三角形的判定与性质；4勾股定理