Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断△MAB的形状，并说明理由；

（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣1；

（2）△MAB是等腰直角三角形，理由见解析；

（3）MC⊥MF，理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）待定系数法即可解得．

（2）由抛物线的解析式可知OA=OB=OC=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°从而得出△MAB是等腰直角三角形．

（3）分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，设D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），通过FG∥DH，得出，从而求得m、n的关系，根据m、n的关系，得出△CGM∽△MHD，即可求得结论．

试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），

∴b=0，c=﹣1，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1；

（2）△MAB是等腰直角三角形，

由抛物线的解析式为：y=x2﹣1可知A（﹣1，0），B（1，0），

∴OA=OB=OC=1，

∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°，

∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°

∵y轴是对称轴，

∴A、B为对称点，

∴AM=BM，

∴△MAB是等腰直角三角形；

（3）MC⊥MF；分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，

设D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），

∴OE=﹣n，CE=1﹣n2，OF=m，DF=m2﹣1，

∵OM=1，

∴CG=n2，DH=m2，

∵FG∥DH，

∴，

即

解得m=﹣，

又∵=﹣n，，

∴，

∵∠CGM=∠MHD=90°，

∴△CGM∽△MHD，

∴∠CMG=∠MDH，

∵∠MDH+∠DMH=90°

∴∠CMG+∠DMH=90°，

∴∠CMD=90°，

即MC⊥MF．

考点：二次函数综合题．