Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG,

（1）求证：直线EP为⊙O的切线；

（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG²=BF·BO.试证明BG=PG.

（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=.求弦CD的长.

Answer

（1）（2）证法见解析；（3）CD=4

【解析】

试题分析：（1）连接OP,根据切线的判定定理证OP⊥EP即可；（2）连接OG根据相似三角形的判定定理证

△BFG∽△BGO得∠BFG=∠BGO=90°再由垂径定理得BG=PG；（3）由sinB===得OG=∴BG=，由BG²=BF·BO得BF=2，∴OF=1由勾股定理得DF=2再由垂径定理得CD=4

试题解析：

（1）连接OP，∵OP=OB ∴∠OPB=∠B

∵EP=EG ∴∠EPG=∠EGP 又∵∠EGP=∠BGF

∠BGF+∠B=90°

∴∠OPB+∠EPG=90° OP过圆心，

∴直线EP为⊙O的切线；

∵BG²=BF·BO ∴ 又∵∠GBF=∠OBG

∴△GBF∽△OBG ∴∠GFB=∠OGB=90°

∴OG⊥PB , OG过圆心

BG=PG.

在Rt△OGB中，sinB===

∴OG=

由射影定理得：OG2=OF OB

∴（）2=OF×3 OF=1

在Rt△OFB中 FD=2

∵OF⊥CD FO过圆心

∴FD=FC ∴CD=2 FD=4

考点：1、切线的判定定理；2、相似三角形的判定和性质；3、垂径定理；4、勾股定理.