Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．

问题引入：

（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S_△ABD：S_△ABC=　  　；当点D是BC边上任意一点时，S_△ABD：S_△ABC=　  　（用图中已有线段表示）．

探索研究：

（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S_△BOC与S_△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．

拓展应用：

（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．

Answer

（1）1：2，BD：BC；

（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，理由见解析；

（3）=1，理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据三角形的面积公式，两三角形等高时，可得两三角形底与面积的关系，可得答案；

（2）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，可得答案；

（3）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，再根据分式的加减，可得答案．

试题解析：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=1：2；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=BD：BC，

故答案为：1：2，BD：BC；

（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，

如图②作OE⊥BC与E，作AF⊥BC与F，，

∵OE∥AF，

∴△OED∽△AFD，

∴．

∵，

∴；

（3）=1，理由如下：

由（2）得，，．

∴===1．

．

考点：相似形综合题．