Question

如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后继续运动，到B停止，连接AP，AQ，PQ．设△APQ的面积为y（cm²）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．

（1）填空：AB=　   　cm，AB与CD之间的距离为　  　cm；

（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；

（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．

Answer

（1）5，．

（2）当4≤x≤10时，y与x之间的函数解析式为：

y=．

（3）满足条件的x的值为或．

【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理即可求得AB，根据面积公式求得AB与CD之间的距离．

（2）当4≤x≤10时，运动过程分为三个阶段，需要分类讨论，避免漏【解析】

①当4≤x≤5时，如答图1﹣1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上；

②当5＜x≤9时，如答图1﹣2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上；

③当9＜x≤10时，如答图1﹣3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．

（3）有两种情形，需要分类讨论，分别计算：

①若PQ∥CD，如答图2﹣1所示；

②若PQ∥BC，如答图2﹣2所示．

试题解析：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，

∴AC⊥BD，

∴AB==5，

设AB与CD间的距离为h，

∴△ABC的面积S=AB•h，

又∵△ABC的面积S=S菱形ABCD=×AC•BD=×6×8=12，

∴AB•h=12，

∴h=．

（2）设∠CBD=∠CDB=θ，则易得：sinθ=，cosθ=．

①当4≤x≤5时，如答图1﹣1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上．

∵PB=x，∴PC=BC﹣PB=5﹣x．

过点P作PH⊥AC于点H，则PH=PC•cosθ=（5﹣x）．

∴y=S△APQ=QA•PH=×3×（5﹣x）=﹣x+6；

②当5＜x≤9时，如答图1﹣2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上．

PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．

过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PD•sinθ=（10﹣x）．

∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四边形BCPQ﹣S△APD

=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣（S△BCD﹣S△PQD）﹣S△APD

=AC•BD﹣BQ•OA﹣（BD•OC﹣QD•PH）﹣PD×h

=×6×8﹣（9﹣x）×3﹣[×8×3﹣（x﹣1）•（10﹣x）]﹣（10﹣x）×

=﹣x2+x﹣；

③当9＜x≤10时，如答图1﹣3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．

y=S△APQ=AB×h=×5×=12．

综上所述，当4≤x≤10时，y与x之间的函数解析式为：

y=．

（3）有两种情况：

①若PQ∥CD，如答图2﹣1所示．

此时BP=QD=x，则BQ=8﹣x．

∵PQ∥CD，

∴，即，

∴x=；

②若PQ∥BC，如答图2﹣2所示．

此时PD=10﹣x，QD=x﹣1．

∵PQ∥BC，

∴，即，

∴x=．

综上所述，满足条件的x的值为或．

考点：1、菱形的性质；2、勾股定理；3、图形面积；4、相似