Question

阅读下面材料：

小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点在线段上，，，，，求的长．

小腾发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：的度数为          ，的长为             ．

参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形中，，，，与交于点，，，求的长．

Answer

∠ACE的度数为75°，AC的长为3.

【解析】

试题分析：由CE//AB可知∠ACE=∠BAD=75°，又∠CAD=30°，可知△ACE是等腰三角形，又CE//AB可知△ABD∽△CED，由相似的性质可知DE=1，所以AD=AC=AE+CE=3

图3中，由已知的条件可知△ACD是等腰三角形，因为∠BAC=90°，因此可过点D作DF⊥AC，然后利用相似、三角函数、勾股定理加以解决

试题解析：图（2）：∠ACE的度数为75°，AC的长为3.

图（3）：过点D作DF⊥AC于F

∵∠BAC=90°

∴AB//DF

∴△ABE∽△FDE

∴EF=1

∵在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°

∴∠ACD=75°

∴AC=AD

∵DF⊥AC

∴∠AFD=90°

在△AFD中，AF＝２+１＝３，∠FAD＝３０°

∴DF＝AFtan30°＝，AD=2DF=2

∴AC=2，AB=2DF==2

考点：1、等腰三角形的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数的应用