Question

已知抛物线y=ax²+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．

（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；

（2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；

（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；

（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称吗？请说明理由．

Answer

（1）抛物线为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，顶点M（，）．

证明见解析

（3）E（1，2），

（4）对称；理由见解析

【解析】

试题分析：（1）由待定系数法可求得解析式，然后转化成顶点式即可得顶点坐标．

有两组对应边对应成比例且夹角相等即可知△ABC∽△NBO，由三角形相似的性质即可求得．

作EF⊥BC于F，根据抛物线的解析式先设出E点的坐标，然后根据两直线垂直的性质求得F点的坐标，根据勾股定理即可求得．

（4）延长EF交y轴于Q，根据勾股定理求得FQ的长，再与EF比较即可．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，

∴，

解得．

∴抛物线为y=﹣x2+x+2；

∴抛物线为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，

∴顶点M（，）．

如图1，

∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），

∴直线BC为：y=﹣x+2，

当x=时，y=，

∴N（，），

∴AB=3，BC=2，OB=2，BN=，

∴，，

∵∠ABC=∠NBO，

∴△ABC∽△NBO，

∴∠NOB=∠ACB；

（3）如图2，作EF⊥BC于F，

∵直线BC为y=﹣x+2，

∴设E（m，﹣m2+m+2），直线EF的解析式为y=x+b，

则直线EF为y=x+（﹣m2+2），

解 得，

∴F（m2，﹣m2+2），

∵EF=，

∴（m﹣m2）2+（﹣m2+2+m2﹣m﹣2）2=（）2，

解得m=1，

∴﹣m2+m+2=2，

∴E（1，2），

（4）如图2，延长EF交y轴于Q，

∵m=1，

∴直线EF为y=x+1，

∴Q（0，1），

∵F（，），

∴FQ=，

∵EF=，EF⊥BC，

∴E、F两点关于直线BC对称．

考点：1、待定系数法；2、抛物线的顶点；3、直线的交点问题；4、勾股定理