Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点P₀坐标为（1，0），将线段OP0绕点O顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；将线段OP₁绕点O顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂，…，这样依次得到线段OP₃，OP₄，…，OP_n．则点P₂的坐标为              ；

当n=4m+1（m为自然数）时，点P_n的坐标为              ．

Answer

（0，-4）；或．

【解析】

试题分析：根据点P0坐标求出OP0，然后分别求出OP1，OP2，OP3，OP4，…，OPn，再根据点P2在y轴负半轴写出坐标即可；分m是奇数和偶数两种情况确定出点Pn所在的象限，然后根据等腰直角三角形的性质写出坐标即可：

∵P0的坐标为（1，0），∴OP0=1.

∴OP1=2，OP2=2×2=22， OP3=22×2=23， OP4=23×2=24，…， OPn=2n-1×2=2n.

∵每次旋转45°，点P0在x轴正半轴，

∴点P2在y轴负半轴. ∴点P2的坐标为（0，-4）.

∵OPn为所在象限的平分线上，∴.

①m为奇数时，点Pn在第二象限，点；

②m为偶数时，点Pn在第四象限，

综上所述，点Pn的坐标为或．

考点：1.探索规律题（图形的变化类）：2.点的坐标；3.等腰直角三角形的性质；4.分类思想的应用．