Question

如图，二次函数y=x²+bx+c经过点（-1，0）和点（0，-3）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如果一次函数y=4x+m的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m的值和该公共点的坐标；

（3）将二次函数图象y轴左侧部分沿y轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为G，如果直线y=4x+n与图象G有3个公共点，求n的值．

Answer

（1）y=x2-2x-3；（2）-12，（3，0）；（3）-3或-4．

【解析】

试题分析：（1）把（-1，0）和点（0，-3）代入函数表达式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；

（2）联立两函数解析式消掉未知数y，得到关于x的一元二次方程，再根据方程有两个相等的实数根，△=0列式求解得到m的值，再求出x的值，然后求出y的值，从而得到公共点的坐标；

（3）根据轴对称性写出翻折部分的二次函数解析式，再根据直线与图象有3个公共点，①联立直线与翻折后的抛物线的解析式，消掉y得到关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根，②直线经过抛物线与y轴的交点．

试题解析：（1）把（-1，0）和（0，-3）代入到y=x2+bx+c中，得，

解得，

所以y=x2-2x-3；

（2）由题意得：，

消掉y整理得，x2-6x-（3+m）=0，

∴△=（-6）2+4（3+m）=0，

解得m=-12，

此时，x1=x2=，

y=4×3-12=0，

∴m=-12，公共点为（3，0）；

（3）原抛物线解析式为：y=x2-2x-3，

原抛物线沿y轴翻折后得到的新抛物线：y=x2+2x-3（x≥0），

由，

得x2-2x-3-n=0，

△=（-2）2+4（3+n）=0，

解得n=-4，

当直线y=4x+n经过点（0，-3）时，直线与图象G有3个公共点，

把（0，-3）代入到y=4x+n中，得n=-3，

综上所述，n=-3或-4．

考点：二次函数综合题．