Question

阅读下列材料：

已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及此时的值是多少．

在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法，解决以下问题：

（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，=　　；

（2）如图3，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PB为边作□PBQE，那么对角线PQ的最小值为　 　，此时=　　；

（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数），以PE，PC为边作□PCQE，那么对角线PQ的最小值为　　，此时=　　．

Answer

（1）.（2）3，；（3），．

【解析】

试题分析：（1）易证四边形PCBQ是矩形，由条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC，从而得到的值．

（2）由题可知：当QP⊥AC时，PQ最短．可以证到四边形PCBQ是矩形．从而可以得到PQ=BC=3，PC=QB=EP，由AE=nPA可以用AP表示AC，从而求出的值．

（3）由题可知：当QP⊥AB时，PQ最短．过点C作CH⊥AB，垂足为H，可以证到四边形PHCQ是矩形，从而有QC=PH，PQ=HC．由AE=nPA可以用AP表示EH．易证△AHC∽△ACB从而可以求出AH=，HC=，从而有PQ=HC=，EH=nPA+，则有EH=2（n+1）AP=nPA+，从而求出AP=，进而求出的值．

试题解析：（1）如图2，

∵四边形APBQ是平行四边形，

∴AP∥BQ，AP=BQ．

∵QP⊥AC，∠ACB=90°，

∴∠APQ=∠C=90°．

∴PQ∥BC．

∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C=90°，

∴四边形PCBQ是矩形．

∴QB=PC．

∴AP=PC．

∴．

（2）如图5，

由题可知：当QP⊥AC时，PQ最短．

∵QP⊥AC，∠ACB=90°，

∴∠APQ=∠C=90°．

∴PQ∥BC．

∵四边形PBQE是平行四边形，

∴EP∥BQ，EP=BQ．

∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C=90°，

∴四边形PCBQ是矩形．

∴QB=PC，PQ=BC=3．

∴EP=PC．

∵AE=nPA，

∴PC=EP=EA+AP

=nPA+AP

=（n+1）AP．

∴AC=AP+PC

=AP+（n+1）AP

=（n+2）AP．

∴．

（3）过点C作CH⊥AB，垂足为H，如图6，

由题可知：当QP⊥AB时，PQ最短．

∵QP⊥AB，CH⊥AB，

∴∠APQ=∠AHC=90°．

∴PQ∥HC．

∵四边形PCQE是平行四边形，

∴EP∥CQ，EP=CQ．

∵PH∥CQ，PQ∥HC，∠PHC=90°，

∴四边形PHCQ是矩形．

∴QC=PH，PQ=HC．

∴EP=PH．

∵AE=nPA，

∴EP=EA+AP

=nPA+AP

=（n+1）AP．

∴EH=2EP=2（n+1）AP．

∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，

∴AB=5．

∵∠HAC=∠CAB，∠AHC=∠ACB=90°，

∴△AHC∽△ACB．

∴．

∵BC=3，AC=4，AB=5，

∴．

∴AH=，HC=．

∴PQ=HC=，EH=AE+AH=nPA+．

∴EH=2（n+1）AP=nPA+．

∴（2n+2-n）AP=．

∴AP=．

∴．

考点：相似形综合题.