Question

如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，直线AD交抛物线于点D（2，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为第三象限内抛物线上的一动点，当点M在什么位置时四边形AMCO的面积最大？并求出最大值；

（3）当四边形AMCO面积最大时，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线BC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为.

(2) 当点M为(－2，－3)时四边形AMCO面积有最大值，最大值为8．

(3) 存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线BC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．

【解析】

试题分析：（1）由待定系数法即可得；

（2）连接OM，则四边形AMCO可分为两个三角形，设M点的坐标，则可表示出两个三角形的面积，进而可得到面积的最大值

（3）可以先假设存在这样的点，然后根据题中的条件进行计算即可

试题解析：（1）∵抛物线的对称轴是直线,

∴，解得.

∵抛物线经过D(2,3),

∴，解得.

∴抛物线的解析式为.

（2）抛物线的解析式为：,

令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0， -2）．

令y＝0，得x＝﹣4或1，∴A(-4，0)、B（1，0）．

设点M坐标为(m，)，连接MO．

则S四边形AMCO＝S△AMO＋S△CMO

＝

＝

∴当m＝﹣2时，＝－3

∴当点M为(－2，－3)时四边形AMCO面积有最大值，最大值为8．

（3）假设存在这样的⊙Q．

设直线x＝﹣2与x轴交于点G，与直线BC交于点F．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，

将B（1，0）、C（0，﹣2）代入得：

，解得：k＝2，b＝﹣2，

∴直线BC解析式为：y＝2x﹣2，

令x＝﹣2，得y＝﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF＝6．

在Rt△BGF中，由勾股定理得：

,

设Q（﹣2，n），则在Rt△QGO中，由勾股定理得：

.

设⊙Q与直线BC相切于点E，则QE＝OQ＝．

在Rt△BGF与Rt△QEF中，

∵∠BGF＝∠QEF＝90°，∠BFG＝∠QFE，

∴Rt△BGF∽Rt△QEF.

∴，即.

化简得：n2﹣3n﹣4＝0，解得n＝4或n＝﹣1．

∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线BC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．

考点：1、待定系数法；2、二次函数的性质；3、勾股定理；4、切线的性质