Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D.过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q.

（1）求AG的长；

（2）当∠APQ=90º时，直线PG与边BC相交于点M.求的值；

（3）当点Q在边AC上时，设BP=，AQ=，求关于的函数解析式，并写出它的定义域.[

Answer

(1)AG=8；（2）=；(3).

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件和重心的性质得出BD=DC=BC，AD⊥BC，再根据sinB=，求出AB、BC、AD的值，从而求出AG的长；

（2）根据∠GMD+∠MGD=90°和∠GMD+∠B=90°，得出∠MGD=∠B，再根据特殊角的三角函数值求出DM、CM=CD-DM的值，在△ABC中，根据AA求出△QCM∽△QGA，即可求出的值；

（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF，得出，求出BE的值，同理可得出CF的值，最后根据BD=CD，求出EG=FG，即可得出CE+BE=2GD，从而得出求y关于x的函数解析式并得出它的定义域．

试题解析：

（1）在△ABC中，∵AB=AC，点G是△ABC的重心,

∴，AD⊥BC.

在Rt△ADB中，∵,∴.

∵, ∴AB=15，BC=18.

∴AD=12.

∵G是△ABC的重心，∴.

（2）在Rt△MDG,∵∠GMD+∠MGD=90°，

同理:在Rt△MPB中,∠GMD+∠B=90°,

∴∠MGD=∠B.

∴,

在Rt△MDG中,∵，

∴，∴

在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC,∴.

∵,

又∵,

∴,

又∵,

∴△QCM∽△QGA.

∴.

（3）过点作,过点作,分别交直线于点E、F，则.

∵,∴,即,

∴

同理可得:,即,

∴.

∵, ,∴.

∴,即.

∴,.

考点：相似形综合题．