Question

已知：如图，在正方形ABCD中，点E是边AD的中点，联结BE，过点A作,分别交BE、CD于点H、F，联结BF．

（1）求证：BE=BF；

（2）联结BD，交AF于点O，联结OE．求证：

Answer

(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

试题分析：

（1）根据正方形性质得出AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°，求出∠ABH=∠HAE，证△ABE∽△DAF，得出比例式，求出AE=DF，CF=AE，证出Rt△ABE≌Rt△CBF即可；

（2）根据正方形性质求出∠ADB=∠CDB，证△DEO≌△DFO，推出∠DEO=∠DFO，根据△ABE∽△DAF推出∠AEB=∠DFA，即可得出答案．

试题解析：

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°，

∴∠BAH+∠HAE=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠AHB=90°，

即∠BAH+∠ABH=90°，

∴∠ABH=∠HAE，

又∵∠BAE=∠ADF，

∴△ABE∽△DAF，

∴，

∴AE=DF，

∵点E是边AD的中点，

∴点F是边DC的中点，

∴CF=AE，

在Rt△ABE与Rt△CBF中，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），

∴BE=BF．

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴DB平分∠ADC，

∴∠ADB=∠CDB，

在△DEO与△DFO中，

∴△DEO≌△DFO（SAS），

∴∠DEO=∠DFO，

∵△ABE∽△DAF，

∴∠AEB=∠DFA，

∴∠AEB=∠DEO．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．