Question

如图，在直角坐标平面内，直线与轴和轴分别交于A、B两点，二次函数的图象经过点A、B，且顶点为C．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求的值；

（3）若P是这个二次函数图象上位于轴下方的一点，且ABP的面积为10，求点P的坐标．

Answer

（1）

（2）

（3）P（4，-3）

【解析】

试题分析：（1）根据直线方程求得点A、B的坐标；然后把点A、B的坐标代入二次函数解析式，通过方程组来求系数b、c的值；

（2）如图，过点C作CH⊥x轴交x轴于点H，构建等腰△AOC．则∠OAC=∠OCA，故sin∠OCA=sin∠OAC＝.

（3）如图，过P点作PQ⊥x轴并延长交直线y=-x+5于Q．设点P（m，m2-6m+5），Q（m，-m+5），则PQ=-m+5-（m2-6m+5）=-m2+5m．由S△ABP=S△PQB+S△PQA得到：10＝(−m2+5m)×5，则易求m的值．注意点P位于第四象限．

试题解析：

【解析】
（1）由直线得点B(0，5)，A(5，0)，

将A、B两点的坐标代入，得 ，解得

∴抛物线的解析式为

（2）过点C作交x轴于点H

把配方得∴点C(3，-4)，

∴CH=4，AH=2，AC=∴OC=5，

∵OA=5∴OA=OC∴

=

（3)过P点作PQx轴并延长交直线于Q

设点P)，Q(m,-m+5)

=

∵

∴

∴

∴

∴P(1,0)(舍去)，P（4，-3）

考点：二次函数综合题．