Question

在△ABC中，AC=25，AB=35，tanA=，点D为边AC上一点，且AD=5，点E、F分别为边AB上的动点（点F在点E的左边），且∠EDF=∠A．设AE=x，AF=y．

（1）如图1，当DF⊥AB时，求AE的长；

（2）如图2，当点E、F在边AB上时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）联结CE，当△DEC和△ADF相似时，求x的值．

Answer

(1) ，(2) y=6-（≤x≤35）；(3) x=25或x=5或x=.

【解析】

试题分析：（1）先根据DF⊥AB，∠EDF=∠A，得出∠ADE=90°，再根据AD=5，tanA=，即可求出AE；

（2）过点D作DG⊥AB，交AB于G，先证出△EDF∽△EAD，得出ED2=AE•EF，再求出DG、AG，最后根据EG=x-6，DE2=42+（x-3）2得出42+（x-3）2=x•（x-y），再进行整理即可；

（3）先证出∠AFD=∠EDC，再分两种情况讨论：①当∠A=∠CED时，得出，，再把y=6- 代入得出5（6-）=x，再解方程即可；②当∠A=∠DCE时，根据△ECD∽△DAF得出，，再把y=6-代入得出5（6-）=x，求出方程的解即可．

试题解析：（1）∵DF⊥AB，

∴∠AFD=90°，

∴∠A+∠ADF=90°

∵∠EDF=∠A，

∴∠EDF+∠ADF=90°，

即∠ADE=90°，

在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=5，tanA=

∴DE=，

∴AE=，

（2）过点D作DG⊥AB，交AB于G，

∵∠EDF=∠ADE，∠DEF=∠AED，

∴△EDF∽△EAD，

∴，

∴ED2=AE•EF，

∴RT△AGD中，∠AGD=90°，AD=5，tanA=，

∴DG=4，AG=3，

∴EG=x-3，

∴DE2=42+（x-3）2，

∴42+（x-3）2=x•（x-y），

∴y=6-（≤x≤35）；

（3）∵∠A+∠AFD=∠EDF+∠EDC，且∠EDF=∠A，

∴∠AFD=∠EDC，

①当∠A=∠CED时，

∵∠EDF=∠A，

又∵∠CED=∠FDE，

∴DF∥CE

∴，

∴

∵y=6-，

∴5（6-）=x，

x1=25，x2=5；

②当∠A=∠DCE时，

∵∠EDF=∠A，

∴△ECD∽△DAF

∴，，

∵y=6-，

∴5（6-）=x，

∴x=，

∴当△DEC和△ADF相似时，x=25或x=5或x=.

考点：相似形综合题．