Question

如图，抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0），B（2，2）．连接OB，AB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；

（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出△OA′B′的边A′B′的中点P的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．

Answer

（1）y=-x2+2x；（2）证明见解析；（3）（-，-2）；点P不在二次函数的图象上．

【解析】

试题分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出抛物线的解析式；

（2）过B作BC⊥x轴于C，根据A、B的坐标易求得OC=BC=AC=2，由此可证得∠BOC、∠BAC、∠OBC、∠ABC都是45°，即可证得△OAB是等腰直角三角形；

（3）当△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°时，OB′正好落在y轴上，易求得OB、AB的长，即可得到OB′、A′B′的长，从而可得到A′、B′的坐标，进而可得到A′B′的中点P点的坐标，然后代入抛物线中进行验证即可．

试题解析：（1）由题意得，

解得；

∴该抛物线的解析式为：y=-x2+2x；

（2）过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=BC=AC=2；

∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；

∴∠OBA=90°，OB=AB；

∴△OAB是等腰直角三角形；

（3）∵△OAB是等腰直角三角形，OA=4，

∴OB=AB=2；

由题意得：点A′坐标为（-2，-2）

∴A′B′的中点P的坐标为（-，-2）；

当x=-时，y=-×（-）2+2×（-）≠-2；

∴点P不在二次函数的图象上．

考点：二次函数综合题．