Question

如图，已知∠MON两边分别为OM、ON，sin∠O=且OA=5，点D为线段OA上的动点（不与O重合），以A为圆心、AD为半径作⊙A，设OD=x．

（1）若⊙A交∠O 的边OM于B、C两点，BC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）将⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′．

①若⊙A′与直线OA相切，求x的值；

②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值．

Answer

（1）y=2（0＜x＜5）；（2）①x=；②．

【解析】

试题分析：（1）作AH⊥OM于H，如图1，在Rt△OAH中，根据正弦的定义求出AH=3，根据垂径定理由AH⊥BC得CH=BH=BC=y，由于OD=x，则AD=5-x，然后在Rt△ACH中利用勾股定理得到（y）2=（5-x）2-32，再整理即可得到y与x的函数关系；

（2）①作A′E⊥OA于E，根据折叠的性质得A′H=AH=3，⊙A′的半径为5-x，在Rt△OAH中，利用勾股定理计算出OH=4；由于⊙A′与直线OA相切，根据切线的性质得A′E=5-x，再证明Rt△OAH∽Rt△A′AE，利用相似比得到5：6=4：（5-x），然后解方程可得到x的值；

②作A′G⊥OA于G，连结A′D，根据两圆相切的性质得A′D=x+5-x=5，再证明Rt△OAH∽Rt△A′AG，利用相似比可计算出AG=，A′G=，则DG=AG-AD=x-，然后在Rt△A′GD中，根据勾股定理得到（）2+（x-）2=52，整理得x2-x=0，然后解方程即可．

试题解析：（1）作AH⊥OM于H，如图1，

在Rt△OAH中，OA=5，sin∠AOH=，

∴AH=3，

∵AH⊥BC，

∴CH=BH=BC=y，

∵OD=x，

∴AD=5-x，

在Rt△ACH中，AC=5-x，AH=3，CH=y，

∴（y）2=（5-x）2-32，

∴y=2（0＜x＜5）；

（2）①作A′E⊥OA于E，如图，

∵⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′，

∴A′H=AH=3，⊙A′的半径为5-x，

在Rt△OAH中，OH==4，

∵⊙A′与直线OA相切，

∴A′E=5-x，

∵∠HAO=∠EAA′，

∴Rt△OAH∽Rt△A′AE，

∴OA：AA′=OH：A′E，即5：6=4：（5-x），

∴x=；

②作A′G⊥OA于G，连结A′D，如图3，

∵⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，

∴A′D=x+5-x=5，

∵∠HAO=∠GAA′，

∴Rt△OAH∽Rt△A′AG，

∴，即，

∴AG=，A′G=，

∴DG=AG-AD=-（5-x）=x-，

在Rt△A′GD中，∵A′G2+GD2=A′D2，

∴（）2+（x-）2=52，

整理得x2-x=0，解得x1=0（舍去），x2=，

∴x的值为．

考点：圆的综合题．