Question

如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，P为AC中点，E为AB边上一动点，F为BC边上一动点，且满足条件∠EPF=45°，记四边形PEBF的面积为S₁；

（1）求证：∠APE=∠CFP；

（2）记△CPF的面积为S₂，CF=x，y=．

①求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围，并求y的最大值．

②在图中作四边形PEBF关于AC的对称图形，若它们关于点P中心对称，求y的值．

Answer

(1)见解析；

(2)①则y关于x的函数解析式为：y=﹣+﹣1，（2≤x≤4），y的最大值为1;

②图见解析， y=2﹣2．

【解析】

试题分析：（1）分别证出∠APE+∠FPC=∠CFP+∠FPC=135°，即可得出∠APE=∠CFP；

（2）①先证出=，再根据AP=CP=2，得出AE==，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，求出S△APE=PH•AE=，S2=S△PCF=CF×PG=x，再根据S1=S△ABC﹣S△APE﹣S△PCF求出S1=8﹣﹣x，再代入y=得出y=﹣8（﹣）2+1，最后根据2≤x≤4，得出时，y取得最大值，最后将x=2代入y=即可求出y最大=1．

②根据图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，得出阴影部分图形自身关于直线BD对称，AE=FC，从而得出=x，求出x=2，最后把代入y=﹣+﹣1即可．

试题解析：（1）∵∠EPF=45°，

∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；

在等腰直角△ABC中，∠PCF=45°，

则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°，

∴∠APE=∠CFP．

（2）①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，

∴△APE∽△CFP，

则=．

在等腰直角△ABC中，AC=AB=4，

又∵P为AC的中点，则AP=CP=2，

∴AE===．

如图1，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，

P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2．

S△APE=PH•AE=×2×=，

S2=S△PCF=CF×PG=×x×2=x，

∴S1=S△ABC﹣S△APE﹣S△PCF=×4×4﹣﹣x=8﹣﹣x，

∴y===﹣+﹣1=﹣8（﹣）2+1，

∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°，

∴2≤x≤4．

即时，y取得最大值．

而x=2在x的取值范围内，将x=2代入y==﹣8（﹣）2+1，得y最大=1．

则y关于x的函数解析式为：y=﹣+﹣1，（2≤x≤4），y的最大值为1．

②如图2所示：

图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，

此时EB=BF，即AE=FC，

则=x，

解得x1=2，x2=﹣2（舍去），

将代入y=﹣+﹣1，得y=2﹣2．

考点：几何变换综合题．