Question

如图，已知AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于点D．

（1）证明：直线PB是⊙O的切线；

（2）若BD=2PA，OA=3，PA=4，求BC的长．

Answer

(1)见解析；(2)BC=.

【解析】

试题分析：（1）连接OB．利用SAS证明△POB≌△POA，根据全等三角形对应角相等得出∠PBO=∠PAO=90°，即直线PB是⊙O的切线；

（2）根据△POB≌△POA得出PB=PA，由已知条件“BD=2PA”、等量代换可以求得BD=2PB；然后由相似三角形（△DBC∽△DPO）的对应边成比例可以求得BC=PO，然后由勾股定理求出PO即可．

试题解析：

（1）证明：连接OB．

∵BC∥OP，

∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．

又OC=OB，

∴∠BCO=∠CBO，

∴∠POB=∠POA．

在△POB与△POA中，

，

∴△POB≌△POA（SAS），

∴∠PBO=∠PAO=90°，

∴PB是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵△POB≌△POA，

∴PB=PA．

∵BD=2PA，

∴BD=2PB．

∵BC∥OP，

∴△DBC∽△DPO，

∴，

∴BC=PO=．

考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质