Question

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q.

（1）求证：△ADC≌△BEA；

（2）若PQ=4，PE=1，求AD的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）9.

【解析】

试题分析：（1）由已知可得△ABC是等边三角形，从而得到∠BAC=∠C=60°，根据SAS即可判定△ADC≌△BEA；

（2）根据全等三角形的性质可得到∠ABE=∠CAD，再根据等角的性质即可求得∠BPQ=60°，再根据余角的性质得到∠PBQ=30°，根据在直角三角形中30°的角对的边是斜边的一半即可证得结果．

试题解析：（1）∵AB=BC=AC，

∴△ABC是等边三角形．

∴∠BAC=∠C=60°．

∵AB=AC，AE=CD，

∴△ADC≌△BEA．

（2）∵△ADC≌△BEA，

∴∠ABE=∠CAD．

∵∠CAD+∠BAD=60°，

∴∠ABE+∠BAD=60°．

∴∠BPQ=60°．

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=30°．

∴BP=2PQ=8．

∴BE=BP+PE=8+1=9,

又BE=AD

∴AD=9.

考点: 1.等边三角形的判定与性质；2.三角形全等的判定与性质.