Question

如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.

求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.

Answer

见解析

【解析】分析：首先根据角之间的关系推出∠EAC=∠BAF．再根据边角边定理，证明△EAC≌ △BAF．最后根据全等三角形的性质定理，得知EC=BF．根据角的转换可求出EC⊥BF.

证明：(1)因为 AE⊥AB，AF⊥AC，所以 ∠EAB=90°=∠FAC，

所以 ∠EAB+∠BAC=∠FAC+∠BAC.
又因为 ∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠BAF=∠FAC+∠BAC.
所以 ∠EAC=∠BAF.
在△EAC与△BAF中，

所以 △EAC≌△BAF. 所以 EC=BF.

(2)因为 ∠AEB+∠ABE=90°，又由△EAC≌△BAF可知∠AEC=∠ABF，

所以 ∠CEB+∠ABF+∠EBA=90°，即∠MEB+∠EBM=90°，即∠EMB=90°，

所以 EC⊥BF.