Question

如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：

（1）填写下表：

正方形ABCD内点的个数              1              2              3              4              …              n

分割成的三角形的个数              4              6                                          …             

（2）原正方形能否被分割成2 012个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由.

Answer

（1）

正方形ABCD内点的个数 1 2 3 4 … N

分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … 2n+2

（2）能，1005，理由见解析

【解析】分析：（1）有1个点时，内部分割成4个三角形；

有2个点时，内部分割成4+2=6（个）三角形；

那么有3个点时，内部分割成4+2×2=8（个）三角形；

有4个点时，内部分割成4+2×3=10（个）三角形；

有n个点时，内部分割成个三角形.

（2）令2n+2=2 012，求出n的值．

【解析】
（1）填表如下：

正方形ABCD内点的个数 1 2 3 4 … N

分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … 2n+2

（2）能.当2n+2=2 012时，n=1 005，即正方形内部有1 005个点．