Question

如图，抛物线y=－x+4x+5交x轴于A、B（以A左B右)两点，交y轴于点C.

(1)求直线BC的解析式；

(2)点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分，如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P的坐标.

Answer

(1) y= (2) S= (3)存在，P(2,9)或P(3,8)

【解析】

试题分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标，再令x=0求出点C的坐标，设直线BC解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于F，根据抛物线和直线BC的解析式表示出PF，再根据S△PBC=S△PCF+S△PBF整理即可得解；

（3）设AP、BC的交点为E，过点E作EG⊥x轴于G，根据垂直于同一直线的两直线平行可得EG∥PH，然后判断出△AGE和△AHP相似，根据相似三角形对应边成比例可表示出EG、HG，然后表示出BG，根据OB=OC可得∠OCB=∠OBC=45°，再根据等角对等边可得EG=BG，然后列出方程求出m的值，再根据抛物线解析式求出点P的纵坐标，即可得解．

试题解析：（1）当y=0时，x1=5，x2=－1，

∵A左B右，

∴A(-1，0),B(5，O)

当x=0时，y=5，

∴C（0,5），

设直线BC解析式为y=kx+b,

∴

∴

∴直线BC解析式为:y=；

(2)作PH⊥x轴于H，交BC于点F，

P(m，-m2+4m+5)，F(m,-m+5)

PF=-m2+5m ，

S△PBC=S△PCF+S△PBF

S=

∴S=；

(3)存在点P，

作EG⊥AB于G,PH⊥AB于H，

∴EG∥PH，

∴△AGE∽△AHP，

∴，

∵P(m，-m2+4m+5)，

EG=，

AH=m-(-1)=m+1， GH=，

HB=5-m ，GB=，

∵OC=OB=5，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

∴EG=BG，

∴=，

∴m1=2 m2=3，

当m=2时，P(2,9)，

当m=3时，P(3,8)，

∴存在这样的点P, 使得线段PA被BC平分,P(2,9)或P(3,8)．

考点：二次函数综合题．