Question

如图：在等腰△ABC中,AB=AC，AD上BC，垂足为D，以AD为直径作⊙0，⊙0分别交AB、AC于E、F.

(1)求证：BE=CF；

(2)设AD、EF相交于G，若EF=8，BC=10,求⊙0的半径．

Answer

(1)证明见解析；（2）⊙O的半径为5．

【解析】

试题分析：（1）连接DE，DF，由AB=AC，且AD为BC边上的高，利用三线合一得到D为BC的中点，AD为顶角平分线，再由AD为圆O的直径，利用直角所对的角为直角得到一对直角相等，利用AAS得到三角形EBD与三角形FCD全等，由全等三角形的对应边相等得到BE=CF，得证；

（2）由EB=CF，AB=AC，得出AE=AF，确定出AE：AB=AF：AC，且夹角相等，得到三角形AEF与三角形ABC相似，由相似三角形的对应边成比例得到AG：AD=8：10，设AG=8x，AD=10x，连接OE，在直角三角形OEG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出圆O的半径．

试题解析：(1)连接DE、DF，

∵AB=AC,AD⊥BC，

∴∠B＝∠C,BD=CD，

∵AD为⊙O的直径，

∴∠DEA=∠DFA=90°，

∴△DBE≌△DCF，

∴BE=CF；

(2)∵BE=CF，

∴AE=AF，

且∠BAC=∠BAC，

∴△AEF∽△ABC，

∴=，

∴设AG=8x,AD=10x，

连接EO，在Rt△OEG中，

∴OE2=OG2+EG2，

∴(5x)2=(3x)2+42，

x=1，

∴5x=5，

∴⊙O的半径为5．

考点：1.相似三角形的判定与性质，2.全等三角形的判定与性质，3.勾股定理，4.圆周角定理．