Question

已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4．点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动；点N从点C出发，沿C→D→A方向，以每秒1个单位的速度向点A运动，若M、N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动．运动时间为t秒，过点N作NQ⊥CD交AC于点Q．

（1）设△AMQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

（2）在梯形ABCD的对称轴上是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，求点P到AB的距离；若不存在，说明理由．

（3）在点M、N运动过程中，是否存在t值，使△AMQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）（0＜t≤2），（2≤t＜4）；（2）；（3）t=，12-6，2.

【解析】

试题分析：（1）求出t的临界点t=2，分别求出当0＜t≤2时和2≤t＜4时，S与t的函数关系式即可，

（2）作梯形对称轴交CD于K，交AB于L，分3种情况进行讨论，①取AD的中点G，②以D为直角顶点，③以A为直角顶点，

（3）当0＜t≤2时，若△AMQ为等腰三角形，则MA=MQ或者AQ=AM，分别求出t的值，然后判断t是否符合题意．

试题解析：（1）当0＜t≤2时，

如图：过点Q作QF⊥AB于F，过点C作CE⊥AB于E，

∵AB∥CD，

∴QF⊥CD，

∵NQ⊥CD，

∴N，Q，F共线，

∴△CQN∽△AFQ，

∴ ，

∵CN=t，AF=AE-CN=3-t，

∵NF=，

∴QF=，

∴，

∴，

当2≤t＜4时，

如图：△FQC∽△PQA，

∵DN=t-2，

∴FD=DN•cos∠FDN=DN•cos60°=（t-2），

∴FC=CD+FD=2+（t-2）=，

∴FQ=FC•tan∠FCQ=FC•tan30°=（）•=（t+2），

∴PQ=PF-FQ=，

∴；

（2）作梯形对称轴交CD于K，交AB于L，

情况一：取AD的中点G，GD=1，

过G作GH⊥对称轴于H，GH=1.5，

∵1.5＞1，

∴以P为直角顶点的Rt△PAD不存在，

情况二：以D为直角顶点：KP1=，

∴P1L=，

情况三：以A为直角顶点，LP2=，

综上：P到AB的距离为时，△PAD为Rt△，

（3）0＜t≤2时， 若MA=MQ，

则：=，

∴t=，

若AQ=AM，则t=，

解得t=12-6，

若QA=QM，则∠QMA=30°

而0＜t≤2时，∠QMA＞90°，

∴QA=QM不存在；

2≤t＜4（图中）

若QA=QM，AP：AD=：2，

∴t=2，

若AQ=AM，2-（t+2）=t，

∴t=2-2，

∵2-2＜2，

∴此情况不存在若MA=MQ，则∠AQM=30°，而∠AQM＞60°不存在．

综上：t=，12-6，2时，△AMQ是等腰三角形．

考点: 1.等腰梯形的性质；2.等腰三角形的判定；3.直角三角形的性质.