Question

如图,四边形内接于⊙,是⊙的直径,,垂足为,平分．

（1）求证：是⊙的切线;

（2）若,求的长．

Answer

(1)证明见解析;（2）BD的长是4cm．

【解析】

试题分析：（1）连接OA,根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°,故AE⊥OA,即AE是⊙O的切线;

（2）根据圆周角定理,可得在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°,有AD=2DE;在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°,有BD=2AD=4DE,即可得出答案．

试题解析：（1）连接OA,

∵DA平分∠BDE,

∴∠BDA=∠EDA．

∵OA=OD,

∴∠ODA=∠OAD,

∴∠OAD=∠EDA,

∴OA∥CE．

∵AE⊥DE,

∴∠AED=90°．

∴∠OAE=∠DEA=90°．

∴AE⊥OA．

∴AE是⊙O的切线;

（2）∵BD是直径,

∴∠BCD=∠BAD=90°．

∵∠DBC=30°,∠BDC=60°,

∴∠BDE=120°．

∵DA平分∠BDE,

∴∠BDA=∠EDA=60°．

∴∠ABD=∠EAD=30°．

∵在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°,

∴AD=2DE．

∵在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°,

∴BD=2AD=4DE．

∵DE的长是1cm,

∴BD的长是4cm．

考点：1.切线的判定,2.圆周角定理．