Question

如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，求出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）（1，0），1；（2）10，（14，12）；（3）t=或t=.

【解析】

试题分析：（1）根据题意，易得Q（1，0），结合P、Q得运动方向、轨迹，分析可得答案；

（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4，在Rt△AFB中，过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H，易得△ABF≌△BCH，进而可得C得坐标；

（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，易得△APM∽△ABF，根据相似三角形的性质，有，设△OPQ的面积为S，计算可得答案．

试题解析：（1）根据题意，易得Q（1，0），

点P运动速度每秒钟1个单位长度．

（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4．

∴AF=10-4=6．

在Rt△AFB中，

过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H．

∵∠ABC=90°=∠AFB=∠BHC

∴∠ABF+∠CBH=90°，∠ABF=∠BCH，∠FAB=∠CBH

∴△ABF≌△BCH．

∴BH=AF=6，CH=BF=8．

∴AB=

∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．

∴所求C点的坐标为（14，12）．

（3）当t=或t=时，OP与PQ相等.

考点: 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质．