Question

在平面直角坐标系中，矩形OABC过原点O，且A（0，2）、C（6，0），∠AOC的平分线交AB于点D．

（1）直接写出点B的坐标；

（2）如图，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．

①当t为何值时，△OPQ的面积等于1；

②当t为何值时，△PQB为直角三角形；

（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=-（x-t）²+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（6，2）；（2）1，当t=2或t=5+或t=5-；（3）t1=，t2=2．

【解析】

试题分析：（1）根据题意知B点坐标为（6，2）；

（2）①可设t秒后△OPQ的面积等于1，则有P（，t）Q（2t，0），根据三角形的面积即可计算出t的值；

②要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB2=（6-t）2+（2-t）2，QB2=（6-2t）2+22，PQ2=（2t-t）2+t2=2t2，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可；

(3) 存在这样的t值，若将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值．

试题解析：（1）根据题意知B点坐标为（6，2）；

(2) ①设t秒后△OPQ的面积等于1，则有P（，t）Q（2t，0），则有：

×t×2t=1

解得：t=1或-1（舍去）

故1秒后△OPQ的面积等于1

②要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．

如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°，

∵OP=t，∴OG=PG=t，

∴点P（t，t）

又∵Q（2t，0），B（6，2），

根据勾股定理可得：PB2=（6-t）2+（2-t）2，QB2=（6-2t）2+22，PQ2=（2t-t）2+t2=2t2，

①若∠PQB=90°，则有PQ2+BQ2=PB2，

即：2t2+[（6-2t）2+22]=（6-t）2+（2-t）2，

整理得：4t2-8t=0，

解得：t1=0（舍去），t2=2，

∴t=2，

②若∠PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2，

∴[（6-t）2+（2-t）2]+[（6-2t）2+22]=2t2，

整理得：t2-10t+20=0，

解得：t=5±．

∴当t=2或t=5+或t=5-时，△PQB为直角三角形．

（3）存在这样的t值，理由如下：

将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，

则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形．

∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（t，t），

∵点B坐标为（6，2），∴点B′的坐标为（3t-6，t-2），

代入y=-（x-t）2+t，得：2t2-13t+18=0，

解得：t1=，t2=2．

考点: 二次函数综合题．