Question

已知关于的方程与都有实数根,若这两个方程有且只有一个公共根,且,则称它们互为“同根轮换方程”．如与互为“同根轮换方程”．

（1）若关于的方程与互为“同根轮换方程”,求的值；

（2）若是关于的方程的实数根,是关于的方程的实数根,当.分别取何值时,方程与互为“同根轮换方程”,请说明理由．

Answer

（1）m＝－12；（2）当p＝q＝－3a时,方程与互为“同根轮换方程”.

【解析】

试题分析：(1)根据同根方程条件：两个方程有且只有一个公共根,且,先求出公共根,进而求出的值；

（2）仿照（1）的过程求出.的取值,只要得到p＝q,2a× b＝ab,即可判断方程与互为“同根轮换方程”.

试题解析：（1）∵方程x2＋4x＋m＝0与x2－6x＋n＝0互为“同根轮换方程”,

∴ 4m＝－6n．

设t是公共根,则有t2＋4t＋m＝0,t2－6t＋n＝0．

解得,t＝．

∵4m＝－6n．

∴t＝．

∴()2＋4()＋m＝0．

∴m＝－12．

（2）若方程x2＋ax＋b＝0（b≠0）与有公共根．

则由x2＋ax＋b＝0,解得x＝．

∴．

∴b＝－6a2．

当b＝－6a2时,有x2＋ax－6a2＝0,x2＋2ax－3a2＝0．

解得,x1＝－3a,x2＝2a；x3＝－3a,x4＝a．

若p＝q＝－3a,

∵b≠0,∴－6a2≠0,∴a≠0．

∴2a≠a．即x2≠x4．

∵2a×b＝ab,

∴方程x2＋ax＋b＝0（b≠0）与＝0互为“同根轮换方程” ．

考点：一元二次方程的应用．1061442