Question

如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，是线段的中点．将线段绕着点顺时针方向旋转，得到线段，连结、．

（1）判断的形状，并简要说明理由；

（2）当时,试问:以、、、为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出相应的 的值？若不能，请说明理由；

（3）当为何值时，与相似？

Answer

（1）证明见解析；（2）当时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，理由见解析；（3）或

【解析】

试题分析：(1)根据旋转的性质可得PB=PC，∠PBC=90°，故△PBC是等腰直角三角形；

（２）以P、O、B、C为顶点的四边形为平等四边形：因为，所以OB∥PC，又点B是PA的中点，所以OB=BP=PC.故四边形POBC是平等四边形．此时有，即．即，从而可求t的值；

（3）由题意可知，， 分两种情况讨论：当时，∽，此时， ；当时，∽，此时，；因此，当或时，与相似

试题解析：（1）△PBC是等腰直角三角形.

∵线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC

∴PB=PC，∠BPC=90°，

∴△PBC是等腰直角三角形.

（2）当OB⊥BP时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形．

∵∠OBP=∠BPC=90°

∴OB∥PC，

∵B是PA的中点

∴

∴四边形POBC是平行四边形

当OB⊥BP时，有即

∴

∴，（不合题意）

∴当t=2时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形．

（3）由题意可知，，

当时，∽，此时

∴

当时，∽，此时

∴

∴当或时，与相似

考点: 1.等腰直角三角形的判定；2.平等四边形的判定；3.相似三角形的判定与性质.